Aufgaben und Ergebnisse
Individualwettbewerb
Aufgaben
Aufgabe I–1
Sei \(R_{>0}\) die Menge der positiven reellen Zahlen. Sei \(f \colon \R_{>0} \to \R_{>0}\) eine Funktion, sodass für alle \(x, y \in \R_{>0}\) gilt: \[ y f^{2025}(x) \geq x f(y). \] Man beweise: Es existiert eine positive ganze Zahl \(n_0\), sodass für alle positiven ganzen Zahlen \(n \geq n_0\) und alle \(x \in \R_{>0}\) gilt: \[ f^n(x) \geq x. \] Bemerkung. Dabei bezeichnet \(f^n\) die \(n\)-fache Anwendung von \(f\), d.h. \(f^n(x) = \underbrace{f(f(\dots f}_{n \text{-mal}}(x)\dots))\).Aufgabe I–2
Auf einem unendlich großen Quadratgitter, von dem einige Felder rot gefärbt sind, sei ein Roter Turm eine Figur, die sich in einem Zug um eine beliebige Anzahl an Feldern parallel zu einer der Gitterachsen (vertikal oder horizontal) bewegen kann, wobei sie während des gesamten Zuges auf roten Feldern bleiben muss.Ausgehend von einem ungefärbten unendlich großen Quadratgitter führt Alice den folgenden Prozess durch: Zunächst färbt sie höchstens 2025 Felder rot. Anschließend platziert sie einige Rote Türme auf paarweise verschiedenen roten Feldern, sodass folgende zwei Regeln erfüllt sind:
- Kein Roter Turm kann einen anderen Roten Turm in einem Zug erreichen.
- Jeder Rote Turm kann jeden anderen Roten Turm in zwei Zügen erreichen.
Aufgabe I–3
Sei \(ABC\) ein Dreieck. Sein Inkreis \(\omega\) berühre die Seiten \(BC\), \(CA\) und \(AB\) in den Punkten \(D\), \(E\) bzw. \(F\). Seien \(P\) und \(Q\) Punkte auf der Geraden \(BC\), die jeweils von \(D\) verschieden sind und \(PB = BD\) bzw. \(QC = CD\) erfüllen. Man beweise, dass sich die Umkreise der Dreiecke \(PCE\) und \(QBF\) und der Kreis \(\omega\) in einem gemeinsamen Punkt treffen.Aufgabe I–4
Eine Teilmenge \(S\) der ganzen Zahlen heiße sächsisch, wenn für je drei paarweise verschiedene Elemente \(a,b,c\in S\) die Zahl \(ab+c\) eine Quadratzahl ist. Man zeige, dass jede sächsische Menge endlich ist.Man bestimme die größtmögliche Anzahl von Elementen, die eine sächsische Menge haben kann.
Ergebnisse
Teamwettbewerb
Aufgaben
Aufgabe T–1
Bob hat \(n\) Münzen mit ganzzahligen Werten \[ c_1 \geq c_2 \geq \dots \geq c_n > 0. \] Er steht vor einem Süßigkeitenautomaten, der \(n\) Schokoladenriegel mit positiven ganzzahligen Preisen \(b_1, b_2, \dots, b_n\) verkauft. Bob bemerkt, dass für jedes \(i \in \{1, \dots, n\}\) gilt: \[ b_1 + b_2 + \dots + b_i \geq c_1 + c_2 + \dots + c_i. \] Außerdem stimmt der Gesamtwert von Bobs Münzen mit der Summe der Preise aller Schokoladenriegel überein. Die Schokoladenriegel können in jeder beliebigen Reihenfolge gekauft werden.Um den \(i\)-ten Schokoladenriegel zu kaufen, muss Bob Münzen mit einem Gesamtwert von mindestens \(b_i\) einwerfen. Allerdings gibt der Automat kein Wechselgeld zurück.
Man beweise, dass Bob mindestens die Hälfte aller Schokoladenriegel kaufen kann.
Aufgabe T–2
Sei \(\R_{>0}\) die Menge der positiven reellen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \(f \colon \R_{>0} \to \R_{>0}\) mit folgenden zwei Eigenschaften:- Für alle Zahlen \(x, y \in \R_{>0}\) gilt \(f(xy) + f(x) = f(y)f\bigl(xf(y)\bigr) + f(x)f(y)\).
- Es gibt höchstens eine Zahl \(a \in \R_{>0}\) mit \(f(a) = 1\).
Aufgabe T–3
Eine Schlange in einem \(n \times n\)-Quadratgitter ist ein Pfad, der aus Strecken zwischen Mittelpunkten benachbarter Felder zusammengesetzt ist, durch die Mittelpunkte aller \(n^2\) Felder verläuft und jedes Feld genau einmal betritt. Dabei heißen zwei Felder benachbart, wenn sie eine gemeinsame Seite haben. Man beachte, dass alle Stücke der Schlange parallel zu Gitterachsen sind. Die Abbildung zeigt ein Beispiel einer Schlange in einem \(4 \times 4\)-Quadratgitter. Diese Schlange hat neun \(90°\)-Winkel, markiert durch kleine schwarze Quadrate.
Aufgabe T–4
Sei \(n\) eine positive ganze Zahl. In der Provinz Lappland gibt es \(100n\) Städte, von denen je zwei durch eine direkte Straße verbunden sind. Auf jeder dieser Straßen steht eine Mautstation, die einen positiven Geldbetrag an Maut einnimmt. Für jede Straße werden die Einnahmen der Maut zu gleichen Teilen zwischen den beiden Städten an den Enden der Straße aufgeteilt (d.h. beide Städte erhalten jeweils die Hälfte der Einnahmen). Die Gesamteinnahmen einer Stadt errechnen sich aus der Summe der Einnahmen, die die Stadt von den Mautstationen der \(100n - 1\) anliegenden Straßen erhält.Gemäß einem neuen Gesetz sollen nun die Einnahmen einiger Mautstationen nicht mehr an die anliegenden Städte, sondern direkt an die Bundesregierung fließen. Der Gouverneur von Lappland darf diese Mautstationen auswählen. Die Bürgermeister der Städte fordern, dass für jede Stadt die Summe der Einnahmen, die sie nach der Änderung aus den verbleibenden Mautstationen noch erhält, mindestens \(99\%\) der früheren Gesamteinnahmen beträgt.
Man bestimme, in Abhängigkeit von \(n\), die größte positive ganze Zahl \(k\), sodass der Gouverneur immer \(k\) Mautstationen auswählen kann, deren Einnahmen zukünftig an die Bundesregierung fließen, und dabei die Forderung der Bürgermeister erfüllt wird.
Aufgabe T–5
Sei \(ABC\) ein spitzwinkliges Dreieck mit \(AB < AC%>\). Sei \(D\) der Fußpunkt des Lotes von \(A\) auf \(BC\). Sei \(E\) der Punkt, für den \(ABEC\) ein Parallelogramm ist. Sei \(M\) ein Punkt im Inneren des Dreiecks \(ABC\), für den \(MB = MC\) gilt. Sei \(F\) der Punkt, den man erhält, wenn man \(D\) an der Tangente an den Umkreis des Dreiecks \(ADM\) durch \(M\) spiegelt. Man beweise, dass \(AF = DE\).Aufgabe T–6
Sei \(ABC\) ein spitzwinkliges Dreieck mit einem inneren Punkt \(D\), für den \(\angle BDC = 180° - \angle BAC\) gilt. Die Geraden \(BD\) und \(AC\) schneiden einander im Punkt \(E\), und die Geraden \(CD\) und \(AB\) schneiden einander im Punkt \(F\). Die Punkte \(P \neq E\) und \(Q \neq F\) liegen auf der Geraden \(EF\) und erfüllen \(BP = BE\) bzw. \(CQ = CF\). Angenommen, die Strecken \(AP\) und \(AQ\) schneiden den Umkreis \(\omega\) des Dreiecks \(ABC\) erneut in den Punkten \(R \neq A\) bzw. \(S \neq A\). Man beweise, dass die Geraden \(RF\) und \(SE\) einander auf \(\omega\) schneiden.Aufgabe T–7
Sei \(n\) eine positive ganze Zahl, sodass die Summe der positiven Teiler von \(n^2 + n + 1\) durch \(3\) teilbar ist.Man beweise: Die Menge der positiven Teiler von \(n^2 + n + 1\) kann so in drei Mengen partitioniert werden, dass für jede der drei Mengen das Produkt ihrer Elemente dasselbe ist.
Aufgabe T–8
Man entscheide, ob folgende Aussage für jedes Polynom \(P\) mit Grad mindestens \(2\) und nichtnegativen ganzzahligen Koeffizienten gilt:Es existiert eine positive ganze Zahl \(m\), sodass für unendlich viele positive ganze Zahlen \(n\) die Zahl \(P^n(m)\) mehr als \(n\) paarweise verschiedene positive Teiler besitzt.
Bemerkung. Dabei bezeichnet \(P^n\) die \(n\)-fache Anwendung von \(P\), d.h. \(P^n(x) = \underbrace{P(P(\dots P}_{n\text{-mal}} (x)\dots))\).